0. 官方說明

在 python 里用非線性規(guī)劃求極值，最常用的就是 scipy.optimize.minimize()。最小化一個或多個變量的標量函數(shù)。（Minimization of scalar function of one or more variables.）

scipy.optimize.minimize(fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)

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1. Parameters

• fun：需要被最小化的目標函數(shù)（objective function）

• x0：初始猜想值，形狀(n, )

  • 大小為 (n,) 的實數(shù)元素數(shù)組，其中 “n” 是自變量的數(shù)量。

• args：tuple元組，可選的 Optional

  • 傳遞給目標函數(shù)及其導數(shù)（fun、jac 和 hess 函數(shù)）的額外參數(shù)。

• method : str or callable, 可選的
  求解器的類型，應該從下面選取一種
  （如果未給出，則選擇 BFGS、L-BFGS-B、SLSQP 之一，具體取決于問題是否有約束或界限。）

        - 'Nelder-Mead' :ref:`(see here) <optimize.minimize-neldermead>`- 'Powell'      :ref:`(see here) <optimize.minimize-powell>`- 'CG'          :ref:`(see here) <optimize.minimize-cg>`- 'BFGS'        :ref:`(see here) <optimize.minimize-bfgs>`- 'Newton-CG'   :ref:`(see here) <optimize.minimize-newtoncg>`- 'L-BFGS-B'    :ref:`(see here) <optimize.minimize-lbfgsb>`- 'TNC'         :ref:`(see here) <optimize.minimize-tnc>`- 'COBYLA'      :ref:`(see here) <optimize.minimize-cobyla>`- 'SLSQP'       :ref:`(see here) <optimize.minimize-slsqp>`- 'trust-constr':ref:`(see here) <optimize.minimize-trustconstr>`- 'dogleg'      :ref:`(see here) <optimize.minimize-dogleg>`- 'trust-ncg'   :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustncg>`- 'trust-exact' :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustexact>`- 'trust-krylov' :ref:`(see here) <optimize.minimize-trustkrylov>`- custom - a callable object (added in version 0.14.0),
  

• jac: {callable, ‘2-point’, ‘3-point’, ‘cs’, bool}, optional ，目標函數(shù)的雅可比矩陣。

• bounds：可選項，變量的邊界（僅適用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）對的形式定義 x 中每個元素的邊界。如果某個參數(shù)在 min 或者 max 的一個方向上沒有邊界，則用 None 標識。如（None, max）

• constraints：約束條件（只對 COBYLA 和 SLSQP）。

• bounds：可選項，變量的邊界（僅適用于L-BFGS-B，TNC和SLSQP）。以（min，max）對的形式定義 x 中每個元素的邊界。如果某個參數(shù)在 min 或者 max 的一個方向上沒有邊界，則用 None 標識。如（None, max）

• constraints：約束條件（只對 COBYLA 和 SLSQP）。

2. Returns

• res：優(yōu)化結(jié)果
  • 優(yōu)化結(jié)果表示為“OptimizeResult”對象。
  • 重要的屬性是：x 解決方案數(shù)組，success 一個布爾標志，指示優(yōu)化器是否成功退出，message 描述終止原因。 有關其他屬性的描述，請參閱 OptimizeResult。

3. 案例

1）無約束求極值

計算 1/x+x 的最小值

# coding=utf-8
from scipy.optimize import minimize
import numpy as np#demo 1
#計算 1/x+x 的最小值def fun(args):a=argsv=lambda x:a/x[0] +x[0]return vif __name__ == "__main__":args = (1)  #ax0 = np.asarray((2))  # 初始猜測值res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')print(res.fun)  # 函數(shù)的最小值print(res.success)print(res.x)  # x 解決方案數(shù)組

執(zhí)行結(jié)果：

2.0000000815356342 （函數(shù)的最小值）
True
[1.00028559]

2）有約束求極值

例2-1 計算 (2+x1)/(1+x2) - 3x1+4x3 的最小值， x1, x2, x3 都處于[0.1, 0.9] 區(qū)間內(nèi)。

def fun(args):a,b,c,d = argsv = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) -c*x[0]+d*x[2]return vdef con(args):# 約束條件 分為eq 和ineq# eq表示 函數(shù)結(jié)果等于0 ； ineq 表示 表達式大于等于0  x1min, x1max, x2min, x2max, x3min, x3max = argscons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[0] - x1min},\{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[0] + x1max},\{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x2min},\{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[1] + x2max},\{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[2] - x3min},\{'type': 'ineq', 'fun': lambda x: -x[2] + x3max})return cons# 定義常量值
args = (2,1,3,4)  # a,b,c,d# 設置參數(shù)范圍/約束條件
args1 = (0.1,0.9,0.1, 0.9,0.1,0.9)  # x1min, x1max, x2min, x2max
cons = con(args1)# 設置初始猜測值  
x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP',constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)

執(zhí)行結(jié)果：

• 0.773684210526435
• True
• [0.9 0.9 0.1]

例2-2 解決以下優(yōu)化問題
$minimiz{e}_{x[0],x[1]}lo{g}_2(1+\frac{x[0]\times 2}{3}+lo{g}_2\frac{x[1]\times 3}{4})$
$s.t.$
$lo{g}_2(1+\frac{x[0]\times 2}{5})\ge 5$
$lo{g}_2(1+\frac{x[0]\times 6}{4}))\ge 5$

# 目標函數(shù)
def fun(a,b,c,d):def v(x):return np.log2(1+x[0]*a/b)+np.log2(1+x[1]*c/d)return v#限制條件函數(shù)
def con(a,b,i):def v(x):return np.log2(1 + x[i] * a / b)-5return v# 定義常量值
args = [2, 1, 3, 4]  # a,b,c,d
args1 = [2, 5, 6, 4] # 設置初始猜測值
x0 = np.asarray((0.5, 0.5))#設置限制條件
cons = ({'type': 'ineq', 'fun': con(args1[0],args1[1],0)},{'type': 'ineq', 'fun': con(args1[2],args1[3],1)},)res = minimize(fun(args[0], args[1], args[2], args[3]), x0, constraints=cons)
print(res.fun)
print(res.success)
print(res.x)

輸出結(jié)果：

• 11.329796332293162
• True
• [77.5 20.66666658]

參考資料

[1] 官網(wǎng)資料 2022.9.19
[2] 非線性規(guī)劃（scipy.optimize.minimize）;